On some aspects of Borel-Moore homology in motivic homotopy: weight and Quillen’s G-theory
Quelques aspects sur l'homologie de Borel-Moore dans le cadre de l'homotopie motivique: poids et G-théorie de Quillen
Résumé
The theme of this thesis is different aspects of Borel-Moore theory in the world of motives. Classically, over the field of complex numbers, Borel-Moore homology, also called “homology with compact support”, has some properties quite different from singular homology. In this thesis we study some generalizations and applications of this theory in triangulated categories of motives.
The thesis is composed of two parts. In the first part we define Borel-Moore motivic homology in the triangulated categories of mixed motives defined by Cisinski and Déglise and study its various functorial properties, especially a functoriality similar to the refined Gysin morphism defined by Fulton. These results are then used to identify the heart of the Chow weight structure defined by Hébert and Bondarko: it turns out that the heart, namely the category of elements of weight zero, is equivalent to a relative version of pure Chow motives over a base defined by Corti and Hanamura.
In the second part we show the representability of Quillen’s G-theory, reformulated by Thomason, firstly in the A1-homotopy category of schemes of Morel-Voevodsky, but also in the stable homotopy category constructed by Jardine. We establish an identification of G-theory as the Borel-Moore theory associated to algebraic K-theory, by using the six functors formalism settled by Ayoub and Cisinski-Déglise.
Le thème de cette thèse est les différents aspects de la théorie de Borel-Moore dans le monde motivique. Classiquement, sur le corps des nombres complexes, l’homologie de Borel-Moore, aussi appelée “homologie à support compact”, possède des propriétés assez différentes comparée avec l’homologie singulière. Dans cette thèse on étudiera quelques généralisations et applications de cette théorie dans les catégories triangulées de motifs.
La thèse est composée de deux parties. Dans la première partie on définit l'homologie motivique de Borel-Moore dans les catégories triangulées de motifs mixtes définies par Cisinski et Déglise et étudie ses diverses propriétés fonctorielles, tout particulièrement une fonctorialité analogue au morphisme de Gysin raffiné défini par Fulton. Ces résultats nous serviront ensuite à identifier le coeur de la structure de poids de Chow définie par Hébert et Bondarko: il se trouve que le coeur, autrement dit la catégorie des éléments de poids zéro, est équivalente à une version relative des motifs purs de Chow sur une base définie par Corti et Hanamura.
Dans la deuxième partie on démontre la représentabilité de la G-théorie de Quillen, sous la reformulation de Thomason, dans un premier temps dans la catégorie A1-homotopique des schémas de Morel-Voevodsky, mais aussi dans la catégorie homotopique stable construite par Jardine. On établit une identification de celle-ci comme la théorie de Borel-Moore associée à la K-théorie algébrique, en utilisant le formalisme des six foncteurs établi par Ayoub et Cisinski-Déglise.
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